Un nouveau site pour les Options Réelles

Notre site change de look mais aussi d'approche! L'info sera moins théorique et plus ciblée sur les besoins actuels des organisations. Nous rebondirons régulièrement sur l'actualité, et proposerons une "nouvelle" façon de penser et d'appréhender l'incertain.

La formule de Black & Scholes

Black, Scholes et Merton élaborent en 1973 un modèle d’évaluation des options, à partir des travaux de Bachelier datant de 1900. Ce modèle leur vaudra le prix Nobel en 1997.

Dans le cas d’un call, il s’agit de soustraire le prix d’exercice actualisé selon un mode continu du prix du sous jacent dont la distribution suit une loi Normale.

Avec:

  • S 0 = prix actuel du sous-jacent
  • N(d1) = probabilité cumulée de la variable d1 dont la distribution suit une loi normale
  • N(d2) = probabilité cumulée de la variable d2 dont la distribution suit une loi normale
  • X = prix d’exercice
  • T = temps avant l’expiration (en nombre de périodes)
  • rf = taux sans risque
  • e = base de logarithme naturel, constant = 2.1728
  • s = écart type par période de la rentabilité du sous-jacent

En 1979, Cox Ross et Rubinstein proposeront un modèle d’évaluation en temps discret : le modèle binomial.


Ce texte suivant est issu de la thèse de MBA de Virginie Joly-Stroebel « Valuation of Risky R&D projects per Real Options method » (GGSB, Jan 2006). Il sera traduit prochainement en Français.

We could simply summarize this formula as:

Value of call option = Delta x Share price – Bank loan

Thus the formula tells us that the value of a call is equal to an investment of N(d1) in the common stock less borrowing of N(d2) x PV(Exercise price).

Conditions for Black & Scholes formula to work

To derive their formula, Black and Scholes assumed that there is a continuum of stock prices, and therefore to replicate an option investors must continuously adjust their holding on the stock (they should update their replicating portfolio). This is not strictly feasible, but the formula even performs remarkably well in the real world, when stock trade only intermittently and prices jump from one level to another one.

It is important to remember the seven assumptions embedded in the Black-Scholes model to understand its limitations for use in real options analysis ( Copeland T. Antikarov V., Real Options a practitioner’s guide , Thomson Texere, UK , 2003, p106):

  • The option may be exercises only at maturity: it is a European option
  • There is only one source of uncertainty
  • The option is contingent on a single underlying risky asset; therefore compound options are ruled out
  • The urderlying asset pays no dividends
  • The current market price and the stochastic process followed by the underlying are known (observable)
  • The variance of return on the underlying is constant through time
  • The exercise price is known an constant

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